حساب المثلثات

شغل حساب المثلثات مكانة مهمة في الرياضيات الإسلامية، وهو الفرع الذي أسهم فيه المسلمون أعظم الإسهامات غير المسبوقة، كما أنه يكون رابطة مهمة مع علم الفلك من خلال مجموعة قوانين التقاويم والشواخص - نظرية المزاول وتطبيقاتها - التي انتشرت في جميع أنحاء العالم الإسلامي.

كان الأساس الذي قام عليه علم حساب المثلثات (وعلم الفلك) في عصر الحضارة الإسلامية متمثلًا في ثلاثة أعمال هي: كتاب "السدهانتا" الهندي، وكتاب "المجسطي" لبطليموس، وكتاب "الأكر" لمينيلاوس، إلا أن علماء الفلك الإسكندريين أدخلوا دالَّة مثلثية وحيدة هي دالَّة وتر القوس، وقام الهنود بإحلال الجيب محل الوتر، فأضافوا جيب التمام والجيب المعكوس.

أما رياضيو العالم الإسلامي فإنهم عدَّلوا هذه الدوالَّ المثلثية الجديدة ودرسوا خواصَّها واستنتجوا حلولًا لكل مسألة في المثلثات المستوية والكروية.

صنَّف محمد بن موسى الخوارزمي كتابًا في الفلك استنادًا إلى مصادر هندية وإغريقية، وقد اشتمل هذا الكتاب على أوَّل جداول عربية للجيوب والظلال، لكن هناك شكًّا في نسبة جدول الظلال إلى الخوارزمي؛ لأن الكتاب موجود في نسخة وحيدة مُنقحة للإسباني المسلم "المجريطى" (ت بقرطبة حوالي ٠٧ ٠ ١م)، وهناك أيضا ترجمة لاتينية لهذه النسخة قام بها أديلارد الباثى في القرن الثاني عشر الميلادي، وعلى أي حال، من المؤكد أن الظلال وظلال التمام كانت معروفة لمعاصر الخوارزمي وزميله حبش الحاسب المروزي الذي جاء من مدينة مرو في خراسان، ولكنه عمل في الأكثر ببغداد، حيث تُوفي حوالي عام ٨٧م.

وقد أُدخلت نسب الظل وظل التمام مع القاطع وقاطع التمام، كدوالٍّ مُولدة بخطوط داخل دائرة، ولكنها استخدمت في الشواخص لنسب المثلثات قائمة الزاوية، وقد تمَّكن حبش الحاسب من حساب طول ظل الشاخص بدقة تصل إلى ثواني القوس، وقد أتاح هذا الجدول الخاص بقيم ظل التمام إمكان تحديد ارتفاع الشمس بمعلومية طول ظل الشاخص.

إن جداول الظلال وظلال التمام التي وضعها حبش كانت إسهامًا مهما لتبسيط الدوالِّ المثلثية، لكن استخدام الظل والدوالِّ المثلثية الأخرى في أعمال حبش لم يكن بالفعل مقصورًا على الشواخص، فقد عبَّر أيضًا عن علاقة المطلع المستقيم للشمس والانحراف والميل بالنسبة إلى الدائرة الظاهرية لمسير الشمس بمعادلة غاية في الدقة.

كما وضع الفلكي الشهير "البتَّاني" (ت في سامراء ٩٢٩م) قائمة لعدد من العلاقات المثلثية (لكنها كانت بالفعل معروفة لحبش).

وفي القرن العاشر الميلادي أحرز أبو الوفاء (ت في بغداد ٩٩٨م) تقدمًا ملحوظًا في حساب المثلثات، وهو الذي أسس مجموعة من العلاقات المهمة غير المسبوقة، وهناك أيضًا فلكي بارز هو ابن يونس (ت٠٩ ٠ ١م) الذي أثبت وأضاف علاقات جديدة مُحوِّلًا بذلك عملية الجمع إلى عملية ضرب، وكان هذا بالغ الأهمية بالنسبة إلى نظام الحساب اللوغاريتمي الذي اكتشف بعد ذلك في الليالي الصافية يكون لدينا انطباع بأن النجوم جميعها هي نقط من الضوء المتلألئ، واقعة على سطح كرة ضخمة، ويكون الراصد عند مركزها، ويُعنَى علم الفلك الكروي أساسا ب "الاتجاهات" التي ترى فيها النجوم، وعلم حساب المثلثات الكروية هو الوسيلة لحل مسائل علم الفلك الكروي.

ولما كان أي مستوى يمر بمركز كرة يقطع السطح في دائرة تسمى "الدائرة العظمى" فإذا كان لدينا ثلاث نقاط على سطح كرة، فإن الكرة يمكن شطرها بحيث تقع جميع النقاط على أحد نصفيها إذا تم توصيل النقاط بأقواس الدائرة العظمى الواقعة جميعًا على نصف الكرة ذاته، فإن الشكل الناتج يسمى "مثلثًا كرويًّا". وحل المثلثات الكروية يعتبر أكثر الطرق شيوعًا للحصول على نتائج فلكية وجيوديسية.

وتُعرَف الصيغة التي اشتقت باسم "معادلة جيب التمام"، ومن هذه المعادلة ورفيقتيها يمكن استنتاج كل الصيغ الأخرى المستخدمة الآن، وأكثر هذه الصيغ استخدامًا تعرف باسم معادلة الأجزاء الأربعة.

حلَّ بطليموس أربع حالات لمثلثات كروية قائمة الزاوية، وتعامل الفلكيون المسلمون في بادئ الأمر مع المسائل نفسها، ثم لم يلبثوا أن تجاوزوا على الفور هذه الحالات الخاصة ومضوا قُدمًا إلى أبعد منها، فعلى سبيل المثال اكتشف البتَّاني المعادلة الأساسية.

وفي القرن العاشر الميلادي استنتج النيريزى وأبو الوفاء معادلة الجيب مزودة بأمثلة عديدة لتطبيقاتها.

وكان نصير الدين الطوسي (ت١٢٧٤م) أبرز عالم في مجال حساب المثلثات المستوية والكروية على حدٍّ سواء، وكانت معالجته التفصيلية لحل المثلثات الكروية واحدة من دراسات عدة جعلت أعماله تحظى بأهمية خاصة في تطوير الرياضيات، وبالرغم من مهارة بعض الفلكيين المسلمين في المثلثات الكروية، إلا أن الحذر ضروري عند اعتبار النتائج الواردة في المؤلفات الفلكية العربية، فربما يظهر لنا جليًّا في بعض الأحيان أن مسألة ما يمكن حلها فقط باستخدام إحدى المعادلات الواردة أعلاه، أو إحدى الصيغ المشتقة منها، حتى إن لم يُوضِّح المؤلف طريقة استخدامها، ومع ذلك فكثيرًا ما استنتج المسلمون حلولًا تامة باستخدام نسق الرياضيات الإغريقية المسمى "أناليما " Analema وفيه يكون مختلف المستويات المهمة المتضمنة في مسألة معينة، إما مسقطة أو مطوية في مستوى عمل وحيد، عندئذٍ يُمكن استنتاج الحلول الهندسية بيانيًّا، أو يمكن حساب الحل بالمثلثات المستوية.

يمثل حساب المثلثات فرعًا رياضيًّا حيويًّا، برع فيه المسلمون بإسهامات غير مسبوقة، وارتبط بشكل وثيق بعلم الفلك. لقد بنوا على أعمال سابقة كـ "السدهانتا" و"المجسطي" و"الأكر"، لكنهم تجاوزوا دالة الوتر الوحيدة، مطورين دوال الجيب وجيب التمام والجيب المعكوس. أبرز العلماء، مثل الخوارزمي، قدموا جداول الجيوب والظلال، بينما أبدع حبش الحاسب في حساب أطوال الظلال بدقة عالية، ووضع البتاني علاقات مثلثية مهمة. وحقق أبو الوفاء وابن يونس تقدمًا ملحوظًا في حساب المثلثات الكروية، مؤسسين علاقات جديدة بالغة الأهمية. توجت هذه الجهود بأعمال نصير الدين الطوسي الذي عالج المثلثات المستوية والكروية بشكل تفصيلي، مما أثرى هذا العلم وساهم في حلول فلكية وجيوديسية معقدة.